灵机一动第10期（灵机一动第192期）-凯发平台

灵机一动

数学是思维的体操，很多数学问题的解答往往就闪现在你的灵机一动之中。本栏目精选数学中的好题、趣题，以及最能锻炼数学思维的题呈现给大家，希望给你带来思考的乐趣。

本期问题来了

no. 168

分辨大小

如图，问能否不借助于任何工具就能分辨两个平行四边形的面积大小？

来源：题友 @搬砖买别墅

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上期问题回顾

no. 167

最后两数

黑板上从左往右写了1，2，3，…，1000，共1000个自然数，将每次擦掉最左边两个数，然后把这两个数的和写在最右面定义为一次操作，经过998次操作后黑板上只剩下两个数。问：这两个数分别是多少？

来源：题友 @搬砖买别墅

分析与解答

答案为：131604 和 368896

因为每一次操作都是擦掉最左边两个数，然后把它们的和写在最右边，所以，每一次操作都会减少一个数。因此，经过998次操作之后，黑板上最后只剩下两个数。

在没有找到好的方法之前，我们不妨用最笨的方法来做一下。

1）经过500次操作后，黑板上将剩下500个数，分别为：3，7，11，15，…，1999。

2）再经过250次操作后，黑板上将剩下250个数，分别为：10，26，42，58，…，3994。

3）再经过125次操作后，黑板上将剩下125个数，分别为：36，100，164，228，…，7972。

4）……

我相信，只要你有足够的耐心，继续做下去，一定可以把最终的答案算出来，但是我认为这样做出来的答案并不是好的数学，因为如果这个数字再大一点，这个方法就显得有点笨拙了。好的数学应该是通解通法，对于任意大的数都能解决。

但是，笨方法并不是一点用处都没有。通过笨方法，我们至少可以得到下面一些启发：1）对于数不多的情况，笨方法还是挺管用的；2）笨方法每一次大操作，都可以将黑板上的所有旧数换成新数，而且剩下的数都会减半，鉴于此，如果黑板上数的个数是2的幂将会使问题变得简单。

所以，我们不妨先从较小的数着手研究，然后找出其中的规律，最后破解该问题，这也是解决数学问题惯用的思维。

如果黑板上只有4个数a，b，c，d，那么经过2次操作之后，剩下的数变为 a b，c d。

如果黑板上只有8个数a，b，c，d，e，f，g，h，那么经过4次操作之后，变为 a b，c d，e f，g h，再经过2次操作之后，变为 a b c d，e f g h。剩下的两个数正好分别是前4个数的和与后4个数的和。

最后，不难发现，当个数为2?时，均有类似的规律和结论。我们把这个结论用正式的语言描述如下：

有用的结论

如果黑板上有2?个数，那么经过2?-2次操作之后，黑板上将剩下两个数，这两个数分别是前2?-1和后2?-1个数之和。

这个结论的严格证明可能需要用到数学归纳法，我们在这里就不讲了，留给大家去思考吧。

接下来我们来考虑不是2?个数时该怎么办。

还是从个数不多的情况来思考，比如说个数为9，此时，我们只要进行一次操作就可以变成8个数了。个数为10时，进行2次操作之后也是剩下8个数。

当个数为1000时，我们找到比1000小，但又最接近1000的2的次幂数，那就是512，它是2的9次幂。从1000个数变成512个数需要经过488次操作，而我们很容易得出经过488次操作之后剩下的512个数为：977，978，979，…，999，1000，1 2，3 4，…，975 976。则前256个数之和为977 978 979 … 999 1000 （1 2） （3 4） … （463 464）=23724 107880=131604。后256个数之和为 （465 466） （467 468） … （975 976）=368896（当然也能算出一个，再用500500去减） 。

故，131604和368896即为黑板上最后剩下的两个数。

更多解答请参看

题友解答精选◎题友 @城隍喵的解答：

我们先看一个简单的情况： 如果有8个数a、b、c、d、e、f、g、h 经过第1次操作，我们擦去最左边的a、b，在最右边写上a b的和，变成c、d、e、f、g、h、a b； 经过第2次操作，我们擦去最左边的c、d，在最右边写上c d的和，变成e、f、g、h、a b、c d； 第3次操作变成g、h、a b、c d、e f； 第4次操作变成a b、c d、e f、g h； 第5次操作变成e f、g h、a b c d； 第6次操作变成a b c d、e f g h； 不难发现8个数经过若干次操作，变成4个数， 这4个数相当于第1、2项的和、第3、4项的和、第5、6项的和、第7、8项的和； 最后变成两个数，这两个数相当于第1、2、3、4项的和、第5、6、7、8项的和。 不难发现当个数为2^n的时候，均有类似的规律和结论。在所有小于等于1000的数中，离1000最接近的2^n的数为2^8=512； 故我们先把1000个数变成512个数； 则要操作1000-512=488次； 则通过488次操作变成977、978、979、…、999、1000、1 2、3 4、5 6、…、975 976； 其中前256项为977、978、979、…、999、1000、1 2、3 4、5 6、…、463 464；后256项为465 466、…、、975 976； 977 978 979 … 999 1000 (1 2) (3 4) (5 6) (463 464)=23724 107880=131604 (465 466) … (975 976)=368896 （当然也能算出一个，再用500500去减） 则最后剩下的两个数依次为131604、368896

◎题友 @lin-匯丰的解答：

131604和368896。每次操作，序列总和不变，且1000右边会多出一个数，则经过998次操作右边会多出998个数（假设前边的数不擦掉），不妨设这1998个数为数列{an}，为书写方便从右到左设为a1,a2,…,a1998，我们要求的两个数就是a1和a2，可知当n≤998时，an=a(2n 1) a(2n 2)；当999≤n≤1998时，an=1999-n。故a1=a3 a4=a7 a8 a9 a10=a15 … a22=…=a1023 … a1534=976 … 465=368896，又a1 a2=1 2 … 1000=500500，则a2=131604，即最后两数分别为131604和368896。

◎题友 @跟我飞的解答：

考虑数列一个有限数列{an},其项数为2的整数幂2^p,经过2^(p-1)次操作后，剩下2^(p-1)个数：a1 a2,a3 a4,……,a_(n-1) a_n，即项数变成原来的一半，每一项是原数列的两项之和。这样经过2^p-2次操作后，剩下两项，第一项是原来数列前2^(p-1)项之和，后一项是原来数列后2^(p-1)项之和。 对于数列1,2,3,4，……，1000，我们来构造一个1024项的数列： 977,0,978,0,979,0,……，1000,0,1,2,3，……，976。该数列的前48项是977到1000之间添加了24个0.这个数列经过24次操作后得到的数列就是1,2,3,4，……，1000。因此，1,2，……，1000进行998次操作等价于这个1024项的数列进行1022次操作。剩下两项的第二项为465 466 …… 976（一共512个数），第一项为1 2 …… 464 977 978 …… 1000. 计算的第一项为131604，第二项为368896.

◎题友 @大成至圣的解答：

题目中的操作具有如下不变性：无论经过多少次操作，如果把得到的新数列中的每一项展开为最初数列的部分和，那么这些数字的相对位置不发生变化，只是1000后面跟着1形成环形数列。例如，经过488次操作后，得到的新数列是977,978,……,999,1000,1 2,3 4,……975 976。这个数列共有512项，以此作为起点，后面每2^k(8≥k≥1)次操作都仍然不改变这些数字的顺序，只是项数折半。那么显然最终剩下两个数的时候第一个数应该是上面数列的前256项之和，为977 978 …… 1000 1 2 ……463 464=131604，第二个数为后256项之和，或者总和减去第一个数，为500500-131604=368896。 ps:写一个程序用队列模拟题目中的操作也许可以更快得到结果